대수평균온도차 LMTD: 평행류·대향류와 열교환기 전열면적 계산

대수평균온도차(LMTD, Log Mean Temperature Difference)는 열교환기에서 사용하는 대표적인 평균 온도차이다. 앞에서 총괄열전달계수를 공부하면서 전체 열전달률을 \(\dot Q=UA\Delta T\)로 나타냈다. 그러나 실제 열교환기에서는 고온유체와 저온유체의 온도가 입구에서 출구까지 계속 변한다.

따라서 열교환기 전체를 대표하는 하나의 온도차가 필요하다. 이때 사용하는 값이 대수평균온도차이다.

이번 글에서는 왜 산술평균이 아니라 로그 형태의 평균을 사용하는지부터 시작하여 평행류와 대향류의 LMTD, 증발기와 응축기의 적용, 그리고 전열면적 계산까지 연결한다.

목차26개 항목

• 왜 평균온도차가 필요한가
• 산술평균온도차를 사용하면 안 될까
• 대수평균온도차 LMTD의 정의
• LMTD는 왜 로그 형태가 되는가
• LMTD 식을 사용할 때의 기본 가정
• 평행류란 무엇인가
• 평행류의 온도분포
• 대향류란 무엇인가
• 대향류의 온도분포
• 왜 대향류가 일반적으로 유리한가
• 양 끝의 온도차가 같다면 어떻게 되는가
• LMTD와 산술평균온도차의 관계
• 증발기와 응축기에서도 LMTD를 사용한다
• 기출로 보는 브라인 냉각기의 LMTD
• 브라인 냉각기의 열량과 전열면적까지 연결하면
• 제124회 기출로 대향류와 평행류를 비교해보자
• 대향류의 LMTD와 전열면적
• 평행류의 LMTD와 전열면적
• 제124회 계산이 보여주는 의미
• LMTD 계산에서 가장 많이 틀리는 부분
• 온도선을 먼저 그리면 실수가 줄어든다
• 온도차가 0 또는 음수가 되는 경우는 주의해야 한다
• 복잡한 열교환기에서는 보정계수 F가 필요하다
• 평행류와 대향류 비교
• 기술사 답안에서 중요한 포인트
• 시험 직전 핵심 정리

왜 평균온도차가 필요한가

앞에서 열교환기의 기본 열전달식을 다음과 같이 배웠다.

\[
\dot Q
=
UA\Delta T
\]

벽체처럼 양쪽 온도가 거의 일정하다면 \(\Delta T\)를 정하는 것이 어렵지 않다.

하지만 열교환기에서는 고온유체가 열을 잃으면서 온도가 낮아지고, 저온유체는 열을 얻으면서 온도가 높아진다.

예를 들어 평행류 열교환기에서 고온유체가 90℃에서 60℃로 냉각되고, 저온유체가 20℃에서 50℃로 가열된다고 하자.

고온유체   90℃ ─────────────→ 60℃

저온유체   20℃ ─────────────→ 50℃

입구의 온도차는

\[
\Delta T_1
=
90-20
=
70\mathrm{K}
\]

이다.

그러나 출구에서는

\[
\Delta T_2
=
60-50
=
10\mathrm{K}
\]

밖에 되지 않는다.

즉 열교환기 전체에서 온도차가 일정하지 않다.

\[
\boxed{
\Delta T
=
\text{위치에 따라 변한다}
}
\]

산술평균온도차를 사용하면 안 될까

가장 먼저 떠올릴 수 있는 평균은 산술평균이다.

\[
\Delta T_{\mathrm{am}}
=
\frac{
\Delta T_1+\Delta T_2
}{2}
\]

하지만 열교환기에서는 온도차가 위치에 따라 단순히 선형으로 변화하지 않는다.

작은 열교환 면적 \(dA\)에서 국소 열전달률은

\[
d\dot Q
=
U\Delta T\,dA
\]

이다.

따라서 각 위치에서 서로 다른 온도차가 열전달에 영향을 주며, 이를 열교환기 전체에 걸쳐 적분해야 한다.

이 적분과정에서 단순 산술평균이 아니라 로그 형태의 평균이 나타난다.

\[
\boxed{
\text{위치에 따라 변하는 온도차를 적분}
\rightarrow
\text{대수평균온도차}
}
\]

대수평균온도차 LMTD의 정의

열교환기 양 끝에서의 온도차 크기를 각각 \(\Delta T_1\), \(\Delta T_2\)라고 하면 대수평균온도차는 다음과 같다.

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm}}
=
\frac{
\Delta T_1-\Delta T_2
}{
\ln
\left(
\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}
\right)
}
}
\]

순서를 반대로 사용해도 결과는 같다.

\[
\Delta T_{\mathrm{lm}}
=
\frac{
\Delta T_2-\Delta T_1
}{
\ln
\left(
\frac{\Delta T_2}{\Delta T_1}
\right)
}
\]

중요한 것은 두 값 모두 열교환기 양 끝에서의 온도차의 크기라는 점이다.

\[
\Delta T_1>0
\qquad
\Delta T_2>0
\]

LMTD는 왜 로그 형태가 되는가

기술사에서는 결과식만 외우기보다 왜 로그가 등장하는지 이해하는 것이 좋다.

작은 전열면적 \(dA\)에서

\[
d\dot Q
=
U\Delta T\,dA
\]

이다.

고온유체와 저온유체의 열용량유량을 각각

\[
C_h
=
\dot m_hc_{p,h}
\]

\[
C_c
=
\dot m_cc_{p,c}
\]

라고 하자.

고온유체는 열을 잃으므로

\[
d\dot Q
=
-C_h\,dT_h
\]

이고, 저온유체는 열을 얻는다.

두 유체 사이의 국소 온도차를

\[
\Delta T
=
T_h-T_c
\]

라고 두고 에너지평형과 결합하면, 정리 과정에서 다음과 같은 형태가 나타난다.

\[
\frac{d(\Delta T)}{\Delta T}
\]

이를 열교환기 양 끝까지 적분하면

\[
\int
\frac{d(\Delta T)}{\Delta T}
=
\ln(\Delta T)
\]

이므로 최종적으로 로그 평균이 나타난다.

\[
\boxed{
\dot Q
=
UA
\frac{
\Delta T_1-\Delta T_2
}{
\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)
}
}
\]

따라서

\[
\boxed{
\dot Q
=
UA\Delta T_{\mathrm{lm}}
}
\]

가 된다.

즉 LMTD의 로그는 임의로 만든 것이 아니라 열교환기 전체의 국소 온도차를 적분하는 과정에서 자연스럽게 나타난다.

LMTD 식을 사용할 때의 기본 가정

기본적인 LMTD식은 정상상태의 열교환기를 기준으로 한다. 또한 일반적인 유도에서는 외부로의 열손실을 무시하고, 열교환기 전체에서 총괄열전달계수 U를 일정한 값으로 취급하며, 유체의 평균적인 열적 특성을 사용할 수 있다고 가정한다.

실제 장치에서 U가 위치에 따라 크게 변하거나 복잡한 다중패스 유동이 존재한다면 단순한 평행류·대향류 LMTD만으로는 부족할 수 있다.

평행류란 무엇인가

평행류(Parallel Flow)는 고온유체와 저온유체가 같은 방향으로 흐르는 열교환 방식이다.

              → 고온유체
Th,i ─────────────────── Th,o

Tc,i ─────────────────── Tc,o
              → 저온유체

한쪽 끝인 입구에서의 온도차는

\[
\boxed{
\Delta T_1
=
T_{h,i}-T_{c,i}
}
\]

이다.

다른 쪽 끝인 출구에서의 온도차는

\[
\boxed{
\Delta T_2
=
T_{h,o}-T_{c,o}
}
\]

이다.

따라서 평행류의 LMTD는

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm,p}}
=
\frac{
(T_{h,i}-T_{c,i})
–
(T_{h,o}-T_{c,o})
}{
\ln
\left(
\frac{
T_{h,i}-T_{c,i}
}{
T_{h,o}-T_{c,o}
}
\right)
}
}
\]

가 된다.

평행류의 온도분포

평행류에서는 두 유체가 같은 방향으로 흐르기 때문에 입구에서 온도차가 가장 큰 경우가 많다.

T
│
│ Th,i ●
│       \
│        \
│         \
│          ● Th,o
│
│           ● Tc,o
│        /
│     /
│  ● Tc,i
└──────────────────── x

두 유체 모두 →

열교환이 진행될수록 고온유체와 저온유체의 온도차는 감소한다.

따라서 일반적인 평행류에서는 출구 부근의 온도차가 작아져 열교환 구동력이 감소한다.

대향류란 무엇인가

대향류(Counter Flow)는 두 유체가 서로 반대 방향으로 흐르는 방식이다.

고온유체
Th,i ─────────────────── Th,o
             →

Tc,o ─────────────────── Tc,i
             ←
저온유체

한쪽 끝에서는 고온유체 입구와 저온유체 출구가 마주 본다.

\[
\boxed{
\Delta T_1
=
T_{h,i}-T_{c,o}
}
\]

다른 쪽 끝에서는 고온유체 출구와 저온유체 입구가 마주 본다.

\[
\boxed{
\Delta T_2
=
T_{h,o}-T_{c,i}
}
\]

따라서 대향류의 LMTD는

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm,c}}
=
\frac{
(T_{h,i}-T_{c,o})
–
(T_{h,o}-T_{c,i})
}{
\ln
\left(
\frac{
T_{h,i}-T_{c,o}
}{
T_{h,o}-T_{c,i}
}
\right)
}
}
\]

가 된다.

대향류의 온도분포

T
│
│ Th,i ●
│        \
│         \
│          \
│           ● Th,o
│
│ ● Tc,o
│    \
│      \
│        ● Tc,i
└──────────────────── x

고온유체 →
저온유체 ←

대향류에서는 두 유체가 반대 방향으로 흐르므로 열교환기 전체에서 온도차를 비교적 균일하게 유지할 수 있다.

따라서 같은 네 개의 입·출구 온도조건이 두 배열에서 모두 가능한 경우, 일반적으로 대향류의 LMTD가 평행류보다 크게 나타난다.

\[
\Delta T_{\mathrm{lm,counter}}
>
\Delta T_{\mathrm{lm,parallel}}
\]

왜 대향류가 일반적으로 유리한가

열교환량은

\[
\dot Q
=
UA\Delta T_{\mathrm{lm}}
\]

이다.

같은 열량 \(\dot Q\)와 같은 총괄열전달계수 U를 기준으로 하면 필요한 면적은

\[
\boxed{
A
=
\frac{
\dot Q
}{
U\Delta T_{\mathrm{lm}}
}
}
\]

이다.

따라서 LMTD가 클수록 필요한 전열면적은 작아진다.

\[
\Delta T_{\mathrm{lm}}\uparrow
\quad\Rightarrow\quad
A\downarrow
\]

대향류가 많은 열교환기에서 유리하게 활용되는 이유가 바로 이 온도 구동력 때문이다.

양 끝의 온도차가 같다면 어떻게 되는가

만약

\[
\Delta T_1
=
\Delta T_2
=
\Delta T
\]

라면 LMTD 공식에 그대로 대입할 경우

\[
\frac{0}{\ln1}
=
\frac{0}{0}
\]

형태가 된다.

그러나 극한값을 취하면

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm}}
=
\Delta T
}
\]

가 된다.

즉 양 끝의 온도차가 같다면 대표 평균온도차도 그 값과 같다.

LMTD와 산술평균온도차의 관계

두 끝의 온도차가 서로 비슷하면 산술평균과 LMTD의 차이도 작다.

예를 들어

\[
\Delta T_1=42\mathrm{K}
\qquad
\Delta T_2=40\mathrm{K}
\]

라면 산술평균은

\[
\Delta T_{\mathrm{am}}
=
41\mathrm{K}
\]

이고 LMTD는

\[
\Delta T_{\mathrm{lm}}
\approx
40.99\mathrm{K}
\]

로 거의 같다.

반면

\[
\Delta T_1=70\mathrm{K}
\qquad
\Delta T_2=12\mathrm{K}
\]

이면 산술평균은 41 K이지만 LMTD는 약 32.89 K이다.

온도차의 변화가 클수록 단순 산술평균으로 계산하면 오차가 커질 수 있다.

증발기와 응축기에서도 LMTD를 사용한다

냉매가 증발하거나 응축하는 구간에서는 압력이 거의 일정하다면 포화온도도 거의 일정하게 유지될 수 있다.

그러나 다른 유체의 온도는 계속 변한다.

예를 들어 냉매가 -5℃에서 증발하고 공기가 20℃에서 10℃로 냉각된다고 하자.

양 끝의 온도차는

\[
\Delta T_1
=
20-(-5)
=
25\mathrm{K}
\]

\[
\Delta T_2
=
10-(-5)
=
15\mathrm{K}
\]

이다.

따라서 평균 온도구동력은

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm}}
=
\frac{
25-15
}{
\ln(25/15)
}
}
\]

로 구해야 한다.

즉 한쪽 유체의 온도가 거의 일정해도 다른 쪽 유체의 온도가 변한다면 LMTD가 필요하다.

기출로 보는 브라인 냉각기의 LMTD

제132회 기출에서는 브라인 입구온도 -6℃, 출구온도 -10℃, 냉매 증발온도 -15℃인 브라인 냉각기에 대해 냉동능력, LMTD와 전열면적을 계산하도록 출제했다.

주어진 값

\[
T_{b,i}
=
-6^\circ\mathrm{C}
\]

\[
T_{b,o}
=
-10^\circ\mathrm{C}
\]

\[
T_e
=
-15^\circ\mathrm{C}
\]

냉매 증발온도는 일정하다고 보면 양 끝 온도차는

\[
\Delta T_1
=
-6-(-15)
=
9\mathrm{K}
\]

\[
\Delta T_2
=
-10-(-15)
=
5\mathrm{K}
\]

이다.

사용 식

\[
\Delta T_{\mathrm{lm}}
=
\frac{
\Delta T_1-\Delta T_2
}{
\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)
}
\]

대입

\[
\Delta T_{\mathrm{lm}}
=
\frac{
9-5
}{
\ln(9/5)
}
\]

결과

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm}}
\approx
6.81\mathrm{K}
}
\]

이 문제는 냉매처럼 한쪽 온도가 거의 일정한 열교환기에서도 LMTD가 어떻게 적용되는지를 잘 보여준다.

브라인 냉각기의 열량과 전열면적까지 연결하면

같은 기출에서는 브라인 유량이 0.3 m³/min, 밀도가 1180 kg/m³, 비열이 3.19 kJ/(kg·K), 열통과율이 465 W/(m²·K)로 주어졌다.

질량유량

\[
\dot m
=
\frac{
0.3\times1180
}{60}
=
5.9\mathrm{kg/s}
\]

냉동능력

\[
\dot Q
=
\dot mc_p
(T_{b,i}-T_{b,o})
\]

\[
\dot Q
=
5.9
\times
3.19
\times
4
\]

\[
\boxed{
\dot Q
=
75.284\mathrm{kW}
}
\]

필요 전열면적은

\[
A
=
\frac{
\dot Q
}{
U\Delta T_{\mathrm{lm}}
}
\]

이므로 단위를 W로 맞추어

\[
A
=
\frac{
75284
}{
465\times6.805
}
\]

따라서

\[
\boxed{
A
\approx
23.79\mathrm{m^2}
}
\]

이다.

즉 실제 설계 계산에서는

\[
\boxed{
\dot Q
\rightarrow
\Delta T_{\mathrm{lm}}
\rightarrow
U
\rightarrow
A
}
\]

의 순서로 연결된다.

제124회 기출로 대향류와 평행류를 비교해보자

제124회 기출에서는 저온유체가 20℃에서 50℃로 가열되고, 고온유체 입구가 90℃이며, 두 유체의 질량유량과 비열 및 총괄열전달계수 \(U=160\mathrm{W/(m^2\cdot K)}\)를 주고 대향류와 평행류의 필요한 전열면적을 각각 계산하도록 출제했다.

먼저 저온유체에서 열교환량을 구한다.

\[
\dot Q
=
\dot m_cc_{p,c}
(T_{c,o}-T_{c,i})
\]

\[
\dot Q
=
1.6
\times
4.2
\times
(50-20)
\]

\[
\boxed{
\dot Q
=
201.6\mathrm{kW}
}
\]

열손실이 없으므로 고온유체가 잃는 열량도 같다.

\[
201.6
=
2.0
\times
3.6
\times
(90-T_{h,o})
\]

따라서

\[
\boxed{
T_{h,o}
=
62^\circ\mathrm{C}
}
\]

대향류의 LMTD와 전열면적

대향류에서는 양 끝 온도차가

\[
\Delta T_1
=
90-50
=
40\mathrm{K}
\]

\[
\Delta T_2
=
62-20
=
42\mathrm{K}
\]

이다.

따라서

\[
\Delta T_{\mathrm{lm,c}}
=
\frac{
42-40
}{
\ln(42/40)
}
\]

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm,c}}
\approx
40.99\mathrm{K}
}
\]

필요 전열면적은

\[
A_c
=
\frac{
201600
}{
160\times40.99
}
\]

\[
\boxed{
A_c
\approx
30.74\mathrm{m^2}
}
\]

평행류의 LMTD와 전열면적

평행류에서는 입구와 출구에서의 온도차가

\[
\Delta T_1
=
90-20
=
70\mathrm{K}
\]

\[
\Delta T_2
=
62-50
=
12\mathrm{K}
\]

이다.

따라서

\[
\Delta T_{\mathrm{lm,p}}
=
\frac{
70-12
}{
\ln(70/12)
}
\]

\[
\boxed{
\Delta T_{\mathrm{lm,p}}
\approx
32.89\mathrm{K}
}
\]

필요 전열면적은

\[
A_p
=
\frac{
201600
}{
160\times32.89
}
\]

\[
\boxed{
A_p
\approx
38.31\mathrm{m^2}
}
\]

제124회 계산이 보여주는 의미

같은 열량과 같은 총괄열전달계수를 사용하는 조건에서도 유동방향에 따라 LMTD가 달라진다.

구분	대향류	평행류
LMTD	약 40.99 K	약 32.89 K
필요 전열면적	약 30.74 m²	약 38.31 m²

이 조건에서는 대향류가 더 큰 평균 온도구동력을 확보한다.

\[
\boxed{
\text{대향류}
\rightarrow
\Delta T_{\mathrm{lm}}\uparrow
\rightarrow
A\downarrow
}
\]

따라서 같은 열교환량을 얻기 위한 전열면적이 더 작다.

LMTD 계산에서 가장 많이 틀리는 부분

가장 흔한 실수는 평행류와 대향류의 \(\Delta T_1\), \(\Delta T_2\)를 잘못 잡는 것이다.

평행류에서는 같은 쪽의 입구끼리, 출구끼리 비교한다.

\[
\boxed{
\Delta T_1
=
T_{h,i}-T_{c,i}
}
\]

\[
\boxed{
\Delta T_2
=
T_{h,o}-T_{c,o}
}
\]

대향류에서는 양쪽 끝에서 실제로 서로 마주 보는 유체의 온도를 비교한다.

\[
\boxed{
\Delta T_1
=
T_{h,i}-T_{c,o}
}
\]

\[
\boxed{
\Delta T_2
=
T_{h,o}-T_{c,i}
}
\]

공식을 먼저 외우기보다 열교환기를 간단히 그린 뒤 양 끝에서 마주 보는 두 온도를 빼는 것이 가장 안전하다.

온도선을 먼저 그리면 실수가 줄어든다

예를 들어 대향류라면 계산 전에 다음과 같이 그린다.

Th,i = 90℃ ─────────→ 62℃ = Th,o

Tc,o = 50℃ ←───────── 20℃ = Tc,i

그러면 왼쪽 끝에서는

\[
90-50
=
40\mathrm{K}
\]

오른쪽 끝에서는

\[
62-20
=
42\mathrm{K}
\]

라는 것이 바로 보인다.

온도차가 0 또는 음수가 되는 경우는 주의해야 한다

기본 LMTD식에서는 양 끝의 온도차를 양의 값으로 정의한다.

어느 한쪽 끝에서 온도차가 0에 가까워지면 열교환 구동력이 매우 작아지고, 유한한 열량을 전달하기 위해 필요한 면적이 매우 커질 수 있다.

또한 온도선이 내부에서 교차하여 온도차의 부호가 바뀌는 경우에는 단순한 하나의 LMTD식으로 전체를 처리하는 것이 적절하지 않을 수 있다.

따라서 실제 계산에서는 먼저 온도분포가 물리적으로 가능한지 확인해야 한다.

복잡한 열교환기에서는 보정계수 F가 필요하다

기본 LMTD식은 이상적인 평행류 또는 대향류 열교환기에 바로 적용할 수 있다.

하지만 실제 셸앤튜브 열교환기, 다중패스 열교환기, 직교류 열교환기에서는 유동형태가 완전한 대향류와 다를 수 있다.

이 경우에는 LMTD 보정계수 \(F\)를 사용하여

\[
\boxed{
\dot Q
=
UA
F
\Delta T_{\mathrm{lm}}
}
\]

로 나타낸다.

여기서 \(F\)는 실제 유동배치가 이상적인 대향류에서 얼마나 벗어나는지를 보정하는 값이다.

보정계수의 구체적인 계산과 다중패스 열교환기는 다음 열교환기 단원에서 자세히 다루는 것이 적절하다.

평행류와 대향류 비교

구분	평행류	대향류
유동방향	같은 방향	반대 방향
온도차 분포	입구 크고 출구에서 작아지기 쉬움	비교적 균일하게 유지
LMTD	일반적으로 작음	일반적으로 큼
필요 전열면적	일반적으로 큼	일반적으로 작음
열교환 구동력	상대적으로 불균일	상대적으로 균일

이 비교는 같은 유체조건에서 두 배열이 모두 가능한 경우의 일반적인 경향이다. 실제 설계에서는 주어진 입·출구 조건을 이용하여 각각 계산해야 한다.

기술사 답안에서 중요한 포인트

LMTD 문제가 출제되면 먼저 열교환기 내부에서 두 유체의 온도차가 위치에 따라 변하기 때문에 대표 평균온도차가 필요하다는 점을 설명하는 것이 좋다.

다음으로 LMTD 정의식을 제시하고, 로그가 등장하는 이유가 국소 열전달식의 적분에 있다는 점을 연결한다.

평행류와 대향류는 간단한 온도분포 그림을 그리고 양 끝의 온도차를 정확하게 표시하는 것이 중요하다.

계산문제에서는 먼저 열평형으로 열교환량과 미지의 출구온도를 구한 다음, 양 끝의 온도차 → LMTD → 전열면적 순서로 계산하면 안정적이다.

복잡한 셸앤튜브 또는 다중패스 열교환기에서는 보정계수 F가 필요할 수 있다는 점까지 언급하면 열교환기 실무와 자연스럽게 연결된다.

시험 직전 핵심 정리

• 열교환기에서는 고온유체와 저온유체의 온도가 위치에 따라 변하므로 온도차도 일정하지 않다.
• LMTD는 열교환기 양 끝의 온도차를 이용한 대표 평균 온도구동력이다.
• \(\Delta T_{\mathrm{lm}}=(\Delta T_1-\Delta T_2)/\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)\)이다.
• 평행류는 입구끼리, 출구끼리 온도차를 구한다.
• 대향류는 각 끝에서 서로 마주 보는 고온유체와 저온유체의 온도를 빼야 한다.
• 같은 조건에서 대향류는 일반적으로 평행류보다 LMTD가 커 필요한 전열면적이 작다.
• 열교환기의 기본식은 \(\dot Q=UA\Delta T_{\mathrm{lm}}\)이다.
• 복잡한 다중패스·직교류 열교환기에서는 LMTD 보정계수 F를 사용할 수 있다.

다음 단계에서는 지금까지 배운 열저항 → 총괄열전달계수 U → LMTD를 하나로 합쳐 열교환기(Heat Exchanger)를 공부한다. 열교환기의 종류와 유동배치, 열평형, LMTD법, ε-NTU법의 기본개념, 응축기와 증발기의 적용까지 연결한다.