전도(Conduction)는 열전달의 세 가지 기본 메커니즘 가운데 가장 먼저 이해해야 할 현상이다. 건물 외벽과 단열재, 냉매배관, 열교환기 전열관, 냉동창고 벽체처럼 고체 내부를 통과하는 열을 계산할 때 전도 이론을 사용한다.
전도를 공부할 때 핵심은 공식을 따로 외우는 것이 아니다. 먼저 온도차가 온도구배를 만들고, 이 온도구배가 열을 이동시키며, 형상에 따라 열이 통과하는 면적이 달라진다는 흐름을 이해해야 한다. 이 원리를 잡으면 평판과 원통벽의 공식도 자연스럽게 유도할 수 있다.
목차
전도란 무엇인가
전도는 물질의 거시적인 이동 없이 온도차에 의해 물질 내부에서 열에너지가 전달되는 현상이다. 고체에서는 원자나 분자의 진동, 금속에서는 자유전자의 이동 등이 에너지 전달에 관여한다.
예를 들어 한쪽 끝이 100℃이고 반대쪽이 20℃인 금속 막대를 생각해보자.
\[
100^\circ\mathrm{C}
\quad \longrightarrow \quad
20^\circ\mathrm{C}
\]
막대 자체가 이동하는 것은 아니지만 내부의 에너지는 고온측에서 저온측으로 전달된다. 따라서 전도의 핵심은 다음과 같이 정리할 수 있다.
\[
\boxed{
\text{물질의 거시적 이동 없이 온도차에 의해 열이 전달된다}
}
\]
공조냉동에서는 건물 벽체, 냉동창고 단열벽, 냉매배관, 보온재, 열교환기 관벽 등에서 전도가 중요하다.
전도량을 결정하는 요소
두께가 L, 열전달 면적이 A이고 양쪽 표면온도가 각각 T1, T2인 평판을 생각해보자.
직관적으로 열전달률은 면적이 넓을수록 증가한다.
\[
\dot Q \propto A
\]
두 표면의 온도차가 클수록 열전달률도 증가한다.
\[
\dot Q
\propto
\left(T_1-T_2\right)
\]
반대로 벽의 두께가 증가하면 열이 통과해야 하는 거리가 길어지므로 열전달률은 감소한다.
\[
\dot Q
\propto
\frac{1}{L}
\]
여기에 재료 자체가 열을 전달하는 능력인 열전도율 k가 추가된다.
\[
\boxed{
\dot Q
\propto
\frac{kA(T_1-T_2)}{L}
}
\]
이 관계를 미분형으로 표현한 것이 전도의 가장 기본적인 법칙인 푸리에 법칙이다.
푸리에의 열전도 법칙
1차원 열전도에서 푸리에 법칙(Fourier’s Law)은 다음과 같다.
\[
\boxed{
\dot Q_x
=
-kA\frac{dT}{dx}
}
\]
단위면적당 열전달률인 열유속(Heat Flux)을 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[
\boxed{
q”
=
-k\frac{dT}{dx}
}
\]
| 기호 | 의미 | SI 단위 |
|---|---|---|
| \(\dot Q\) | 열전달률 | W |
| \(q”\) | 열유속 | W/m² |
| \(k\) | 열전도율 | W/(m·K) |
| \(A\) | 열전달 면적 | m² |
| \(dT/dx\) | 온도구배 | K/m |
여기서 가장 중요한 개념이 온도구배(Temperature Gradient)이다.
\[
\frac{dT}{dx}
\]
온도구배는 단위거리당 온도가 얼마나 빠르게 변화하는지를 나타낸다. 같은 재료라도 짧은 거리에서 온도가 크게 변하면 온도구배가 커지고 열전달도 증가한다.
푸리에 법칙에 음의 부호가 붙는 이유
푸리에 법칙의 음의 부호는 계산을 어렵게 하기 위한 기호가 아니라 열전달 방향을 나타낸다.
온도가 +x 방향으로 낮아지는 경우를 생각하면 다음 관계가 성립한다.
\[
\frac{dT}{dx}<0
\]
열은 높은 온도에서 낮은 온도로, 즉 +x 방향으로 이동한다. 따라서
\[
-k\frac{dT}{dx}>0
\]
가 된다.
결국 음의 부호가 의미하는 물리적 내용은 다음과 같다.
\[
\boxed{
\text{열은 온도가 감소하는 방향으로 전달된다}
}
\]
다만 열전달량의 크기만 계산하는 문제에서는 고온측 온도에서 저온측 온도를 빼고 양의 값으로 계산하는 경우가 많다.
열전도율 k의 의미
열전도율(Thermal Conductivity) k는 재료가 열을 얼마나 잘 전달하는지를 나타내는 물성이다.
\[
k
\;:\;
\mathrm{W/(m\cdot K)}
\]
같은 형상과 같은 온도차라면 열전도율이 커질수록 열전달률은 증가한다.
\[
k\uparrow
\quad\Rightarrow\quad
\dot Q\uparrow
\]
따라서 일반적으로 금속은 열전도율이 크고, 단열재는 열전도율이 작다. 단열에서는 열을 잘 전달하지 않는 재료를 사용해야 하므로 낮은 열전도율이 유리하다.
다만 열전도율은 항상 하나의 고정값으로만 볼 수 있는 것은 아니다. 재료와 온도에 따라 달라질 수 있으므로 정확한 계산에서는 주어진 조건에서의 열전도율을 사용해야 한다.
평판의 정상 1차원 열전도
가장 기본적인 평판 전도식을 푸리에 법칙에서 직접 유도해보자.
다음 조건을 가정한다.
- 정상상태이다.
- 열전달은 한 방향으로만 발생한다.
- 열전도율 k는 일정하다.
- 벽체 내부에 발열이 없다.
- 열전달 면적 A는 일정하다.
푸리에 법칙에서 시작하면
\[
\dot Q
=
-kA\frac{dT}{dx}
\]
이고, 이를 정리하면 다음과 같다.
\[
\frac{\dot Q}{kA}dx
=
-dT
\]
\(x=0\)에서 \(T=T_1\), \(x=L\)에서 \(T=T_2\)라 하면
\[
\int_0^L
\frac{\dot Q}{kA}dx
=
-\int_{T_1}^{T_2}dT
\]
이므로
\[
\frac{\dot Q L}{kA}
=
T_1-T_2
\]
따라서 평판을 통과하는 정상 1차원 열전달률은
\[
\boxed{
\dot Q
=
\frac{kA(T_1-T_2)}{L}
}
\]
가 된다.
단위면적당 열전달률인 열유속은 다음과 같다.
\[
\boxed{
q”
=
\frac{k(T_1-T_2)}{L}
}
\]
평판 내부의 온도분포
앞의 조건처럼 열전도율이 일정하고 내부발열이 없는 정상 1차원 평판에서는 온도가 위치에 따라 직선적으로 변한다.
\[
\boxed{
T(x)
=
T_1
–
\frac{T_1-T_2}{L}x
}
\]
따라서 온도구배도 일정하다.
\[
\frac{dT}{dx}
=
-\frac{T_1-T_2}{L}
\]
이 특징은 뒤에서 배우는 원통벽과 중요한 차이를 만든다. 평판은 전열면적이 위치에 따라 일정하기 때문에 이러한 조건에서는 온도분포가 선형이지만, 원통벽은 반경에 따라 전열면적이 변하므로 온도분포가 로그형이 된다.
전도를 열저항으로 표현하기
평판 전도식을 다시 정리하면 다음과 같다.
\[
\dot Q
=
\frac{T_1-T_2}
{\frac{L}{kA}}
\]
따라서 평판의 전도 열저항을 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[
\boxed{
R_{\mathrm{cond}}
=
\frac{L}{kA}
}
\]
그러면 열전달률은 전기회로의 옴의 법칙과 비슷한 형태로 표현된다.
\[
\boxed{
\dot Q
=
\frac{\Delta T}
{R_{\mathrm{cond}}}
}
\]
열저항이 커질수록 같은 온도차에서 전달되는 열은 감소한다. 단열재의 두께를 증가시키거나 열전도율이 낮은 재료를 사용하면 열저항이 커지는 이유가 여기에 있다.
단위면적당 열유속을 사용할 때는 면적이 제거된 면적 열저항을 사용할 수 있다.
\[
R”
=
\frac{L}{k}
\]
이때 단위는 m²·K/W이며,
\[
q”
=
\frac{\Delta T}{R”}
\]
로 표현할 수 있다.
다층 평판의 전도
실제 건축물 벽체나 냉동창고의 단열벽은 하나의 재료로만 구성되지 않는다. 콘크리트, 단열재, 마감재처럼 여러 재료가 직렬로 배치되는 경우가 일반적이다.
정상상태라면 각 층을 통과하는 열전달률은 동일하다.
\[
\dot Q_1
=
\dot Q_2
=
\cdots
=
\dot Q
\]
각 층의 열저항은
\[
R_i
=
\frac{L_i}{k_i A}
\]
이고, 직렬로 연결된 열저항은 합산할 수 있다.
\[
R_{\mathrm{total}}
=
\frac{L_1}{k_1A}
+
\frac{L_2}{k_2A}
+
\cdots
\]
따라서 전체 열전달률은 다음과 같다.
\[
\boxed{
\dot Q
=
\frac{T_1-T_2}
{
\frac{L_1}{k_1A}
+
\frac{L_2}{k_2A}
+
\cdots
}
}
\]
단위면적 기준으로 표현하면
\[
\boxed{
q”
=
\frac{T_1-T_2}
{
\frac{L_1}{k_1}
+
\frac{L_2}{k_2}
+
\cdots
}
}
\]
가 된다.
이 관계는 건물 외피의 단열재 두께 결정이나 냉동창고 벽체의 열손실 계산에 직접 사용된다.
기출로 이해하는 다층벽과 단열재 두께
제129회 기출에서는 두께 300 mm, 열전도율 1.2 W/(m·K)인 콘크리트벽 외측에 열전도율 0.08 W/(m·K)의 단열재를 설치하고, 단위면적당 열전달률을 500 W/m² 이하로 제한하기 위한 최소 단열재 두께를 구하도록 출제했다.
문제에서 주어진 벽체 양 표면온도는 700℃와 70℃이므로
\[
\Delta T
=
700-70
=
630\mathrm{K}
\]
이다.
콘크리트의 단위면적 기준 열저항은
\[
R”_{\mathrm{concrete}}
=
\frac{0.30}{1.2}
=
0.25
\ \mathrm{m^2K/W}
\]
이다.
단열재 두께를 \(L_{\mathrm{ins}}\)라 하면
\[
R”_{\mathrm{ins}}
=
\frac{L_{\mathrm{ins}}}{0.08}
\]
이고, 요구되는 총 열저항은
\[
R”_{\mathrm{total}}
\ge
\frac{630}{500}
=
1.26
\ \mathrm{m^2K/W}
\]
이다.
따라서
\[
0.25
+
\frac{L_{\mathrm{ins}}}{0.08}
\ge
1.26
\]
이므로
\[
L_{\mathrm{ins}}
\ge
0.0808\mathrm{m}
\]
가 된다.
\[
\boxed{
L_{\mathrm{ins}}
\ge
8.08\mathrm{cm}
}
\]
이 문제는 단순히 공식을 대입하는 문제가 아니라 열전도율, 평판 전도, 직렬 열저항과 단열재 설계를 한 번에 연결하는 대표적인 전도 문제이다.
원통벽에서는 전열면적이 변한다
공조냉동에서는 평판뿐 아니라 냉수배관, 온수배관, 냉매배관처럼 원통형 구조물의 전도도 매우 중요하다.
평판에서는 열이 통과하는 면적 A가 일정하다. 그러나 원통에서는 반경이 증가할수록 열이 통과하는 면적도 증가한다.
\[
\boxed{
A(r)
=
2\pi rL
}
\]
여기서 \(r\)은 반경, \(L\)은 원통의 길이이다.
즉 원통벽에서는 위치에 따라 전열면적이 계속 달라진다. 이것이 평판 공식을 그대로 사용할 수 없는 가장 중요한 이유이다.
원통벽 열전도식 유도
반경방향의 푸리에 법칙에서 시작한다.
\[
\dot Q
=
-kA(r)\frac{dT}{dr}
\]
원통의 전열면적
\[
A(r)
=
2\pi rL
\]
을 대입하면
\[
\dot Q
=
-2\pi kLr
\frac{dT}{dr}
\]
가 된다.
변수를 분리하면
\[
\frac{\dot Q}{r}dr
=
-2\pi kL\,dT
\]
이고, \(r=r_1\)에서 \(T=T_1\), \(r=r_2\)에서 \(T=T_2\)라 하면
\[
\dot Q
\int_{r_1}^{r_2}
\frac{dr}{r}
=
-2\pi kL
\int_{T_1}^{T_2}
dT
\]
이다.
적분하면
\[
\dot Q
\ln
\left(
\frac{r_2}{r_1}
\right)
=
2\pi kL
\left(
T_1-T_2
\right)
\]
따라서 원통벽의 전도 열전달률은
\[
\boxed{
\dot Q
=
\frac{
2\pi kL
\left(
T_1-T_2
\right)
}
{
\ln
\left(
\frac{r_2}{r_1}
\right)
}
}
\]
가 된다.
직경을 사용해도 반경비와 직경비가 같으므로
\[
\boxed{
\dot Q
=
\frac{
2\pi kL
\left(
T_1-T_2
\right)
}
{
\ln
\left(
\frac{d_2}{d_1}
\right)
}
}
\]
로 표현할 수 있다.
원통벽의 전도 열저항은 다음과 같다.
\[
\boxed{
R_{\mathrm{cond,cyl}}
=
\frac{
\ln
\left(
\frac{r_2}{r_1}
\right)
}
{
2\pi kL
}
}
\]
평판과 원통벽의 차이
| 구분 | 평판 | 원통벽 |
|---|---|---|
| 전열면적 | 일정 | 반경에 따라 변화 |
| 전열면적 식 | A | 2πrL |
| 온도분포 | 선형 | 로그형 |
| 대표식 | \(kA\Delta T/L\) | \(2\pi kL\Delta T/\ln(r_2/r_1)\) |
| 열저항 | \(L/(kA)\) | \(\ln(r_2/r_1)/(2\pi kL)\) |
| 대표 적용 | 벽체·판 | 배관·원통 단열 |
두 공식을 따로 암기하기보다 다음 원리를 기억하는 것이 좋다.
\[
\boxed{
\text{평판}
\rightarrow
\text{전열면적 일정}
}
\]
\[
\boxed{
\text{원통}
\rightarrow
\text{반경에 따라 전열면적 변화}
}
\]
원통식에 로그항이 등장하는 이유도 바로 \(A=2\pi rL\) 때문에 푸리에 법칙을 반경방향으로 적분하기 때문이다.
원통벽 식은 유도과정을 이해해야 한다
공조냉동기계기술사 제139회에서는 단일 원형관에서 열전도에 의한 전열량을 구하는 과정을 관계식으로 직접 유도하도록 출제했다.
따라서 기술사 답안에서는 결과식만 적는 것보다 다음 흐름을 설명할 수 있어야 한다.
\[
\text{푸리에 법칙}
\rightarrow
A=2\pi rL
\rightarrow
\text{변수분리}
\rightarrow
\int\frac{dr}{r}
\rightarrow
\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)
\]
이 과정을 이해하면 원통형 배관과 단열재 열전도 문제에서도 공식을 단순 암기하지 않고 형상에서 직접 유도할 수 있다.
정상전도와 비정상전도
지금까지 유도한 평판과 원통벽 식은 기본적으로 정상상태를 가정한다.
정상전도(Steady Conduction)는 특정 위치의 온도가 시간에 따라 변하지 않는 상태이다.
\[
\frac{\partial T}{\partial t}
=
0
\]
반면 비정상전도 또는 과도전도(Transient Conduction)는 시간에 따라 온도가 변한다.
\[
\frac{\partial T}{\partial t}
\neq
0
\]
예를 들어 높은 온도의 금속구를 차가운 공기 중에 놓으면 시간이 지나면서 금속구의 온도가 계속 감소한다. 이것은 비정상전도 문제이다.
제139회에서도 구의 물성과 주변 대류열전달계수를 주고 덩어리 해석(Lumped Analysis)의 적용조건, 일정 시간 후 온도와 방출열량을 계산하는 문제가 출제됐다. 이 부분은 이후 비오수와 푸리에수를 공부할 때 자세히 연결하는 것이 좋다.
전도에서 자주 혼동하는 내용
열전도율 k와 대류열전달계수 h는 다르다
열전도율 k는 재료 내부의 전도 특성을 나타내며 단위는 W/(m·K)이다.
대류열전달계수 h는 고체 표면과 유체 사이의 대류 특성을 나타내며 단위는 W/(m²·K)이다.
따라서 두 값은 단위부터 다르며 물리적인 의미도 다르다.
표면온도와 유체온도를 구분해야 한다
벽체 양쪽의 표면온도가 직접 주어졌다면 그 두 표면 사이에서는 전도 문제로 계산할 수 있다.
반면 실내공기온도와 외기온도가 주어졌다면 공기와 벽 표면 사이의 대류저항까지 함께 고려해야 한다. 이 개념이 이후 열저항과 열관류율, 총괄열전달계수로 연결된다.
평판 공식을 원통벽에 그대로 적용할 수 없다
배관에서는 반경에 따라 전열면적이 달라진다. 따라서 평판식 \(kA\Delta T/L\)을 그대로 사용하는 것이 아니라 반경방향 푸리에 법칙을 적분해야 한다.
공조냉동 실무에서 전도가 의미하는 것
냉동창고에서는 벽체를 통한 전도 열취득이 냉동부하에 직접 포함된다. 따라서 단열재의 열전도율과 두께는 냉동기 용량과 에너지 소비에 영향을 준다.
냉수배관이나 냉매배관에서는 배관 벽과 단열재를 통해 열이 이동한다. 냉수배관에서는 외부로부터 열이 들어오는 것을 줄여야 하고, 온수배관에서는 외부로 빠져나가는 열손실을 줄여야 한다.
열교환기에서도 냉매와 물 또는 공기 사이의 열은 전열관 벽을 전도로 통과한다. 다만 실제 열교환기 전체에서는 유체측 대류와 관벽 전도가 연속적으로 발생하므로 이후 총괄열전달계수 U로 통합하여 다루게 된다.
기술사 답안에서 중요한 포인트
전도 문제가 출제되면 먼저 푸리에 법칙을 제시하고 각 변수와 단위를 설명하는 것이 기본이다. 이후 문제 형상이 평판인지 원통인지 판단해야 한다.
평판이라면 정상 1차원 전도를 가정하여 \(kA\Delta T/L\)을 유도하고, 여러 층이면 열저항을 직렬로 합산한다.
원통벽이라면 \(A=2\pi rL\)이라는 점을 먼저 보여준 뒤 푸리에 법칙을 적분하여 로그항이 포함된 관계식을 유도하는 것이 좋다.
단열재 문제에서는 단순히 최종 두께만 제시하기보다 주어진 값 → 열저항 → 요구 열유속 → 필요 총 열저항 → 단열재 두께의 순서로 계산하면 답안의 논리가 명확해진다.
시험 직전 핵심 정리
- 전도는 물질의 거시적인 이동 없이 온도차에 의해 열이 전달되는 현상이다.
- 푸리에 법칙은 \(\dot Q=-kA\,dT/dx\)이며 음의 부호는 열이 온도가 감소하는 방향으로 이동한다는 뜻이다.
- 정상 1차원 평판에서는 \(\dot Q=kA(T_1-T_2)/L\)이고 온도분포가 선형이다.
- 평판의 전도 열저항은 \(R=L/(kA)\)이며 다층벽에서는 각 층의 열저항을 더한다.
- 원통벽에서는 \(A=2\pi rL\)로 전열면적이 반경에 따라 달라지므로 로그항이 발생한다.
- 원통벽의 전도 열저항은 \(\ln(r_2/r_1)/(2\pi kL)\)이다.
- 표면온도가 아닌 유체온도가 주어지면 대류저항까지 고려해야 하며, 이것이 열관류율과 총괄열전달계수로 연결된다.
다음 단계에서는 열전달의 두 번째 메커니즘인 대류(Convection)를 공부한다. 뉴턴의 냉각법칙에서 시작하여 자연대류와 강제대류, 경계층, 그리고 Re·Pr·Nu와 대류열전달계수 h의 관계까지 연결한다.
