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냉동공학

푸리에수 Fo의 의미: 무차원 시간과 비정상 열전도

냉동공학 열전달

푸리에수(Fourier Number)는 비정상 열전도에서 열이 물체 내부로 얼마나 진행되었는지를 나타내는 중요한 무차원수이다. 앞에서 배운 비오수 Bi가 고체 내부의 온도구배를 무시할 수 있는지를 판단했다면, 푸리에수 Fo는 시간이 흐르면서 열이 고체 내부로 얼마나 확산되었는지를 나타낸다.

따라서 비정상 열전도에서는 Bi와 Fo를 함께 이해하는 것이 중요하다.

\[
\boxed{
Bi
=
\text{공간적인 온도구배의 중요성}
}
\]

\[
\boxed{
Fo
=
\text{시간적인 열확산의 진행정도}
}
\]

목차30개 항목

푸리에수란 무엇인가

푸리에수는 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
}
\]

여기서 각 변수는 다음을 의미한다.

기호의미SI 단위
Fo푸리에수무차원
α열확산계수m²/s
t경과시간s
Lc해석에서 정의하는 특성길이m

단위를 대입하면

\[
Fo
=
\frac{
(\mathrm{m^2/s})(\mathrm{s})
}{
\mathrm{m^2}
}
\]

이므로 모든 단위가 소거된다.

\[
\boxed{
\operatorname{dim}(Fo)=1
}
\]

따라서 Fo는 무차원수이다.

푸리에수의 가장 중요한 의미는 무차원 시간이다

푸리에수 식을 다음과 같이 바꾸어보자.

\[
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
=
\frac{
t
}{
L_c^2/\alpha
}
\]

여기서

\[
\boxed{
t_d
\sim
\frac{
L_c^2
}{
\alpha
}
}
\]

는 열이 특성길이 \(L_c\) 정도를 확산하는 데 필요한 대표적인 열확산 시간척도로 볼 수 있다.

따라서

\[
\boxed{
Fo
=
\frac{
\text{실제로 경과한 시간}
}{
\text{대표적인 열확산 시간척도}
}
}
\]

이다.

이 때문에 Fo를 무차원 시간이라고 부른다.

푸리에수를 실제 경과시간과 열확산 시간척도의 비로 나타낸 무차원 시간 개념도

Fo가 작으면 무엇을 의미하는가

푸리에수가 매우 작다고 하자.

\[
Fo\ll1
\]

이는 실제 경과시간이 대표 열확산 시간보다 훨씬 짧다는 뜻이다.

\[
t
\ll
\frac{
L_c^2
}{
\alpha
}
\]

따라서 열적 변화가 물체 내부 깊숙이 전달될 시간이 아직 충분하지 않았다.

예를 들어 차가운 고체를 뜨거운 공기 속에 넣은 직후를 생각해보자.

뜨거운 공기
      ↓

┌────────────────────┐
│ 온도변화 │          │
│  표면    │ 초기온도 │
│          │   내부   │
└────────────────────┘

Fo가 작은 상태

표면은 이미 가열되기 시작했지만 중심부는 여전히 초기온도에 가까울 수 있다.

따라서

\[
\boxed{
Fo\text{가 작다}
\Rightarrow
\text{열적 변화가 아직 표면 부근에 집중}
}
\]

라고 이해할 수 있다.

Fo가 증가하면 어떻게 되는가

같은 물체에서 시간이 지나면

\[
t\uparrow
\]

하므로

\[
Fo\uparrow
\]

한다.

시간이 지남에 따라 표면의 온도변화가 점점 물체 내부로 확산된다.

초기
┌────────────────────┐
│ 변화 │   초기상태   │
└────────────────────┘

          ↓ 시간 경과

┌────────────────────┐
│   변화된 온도영역   │
│       → → →        │
└────────────────────┘

따라서

\[
\boxed{
Fo\uparrow
\Rightarrow
\text{열이 물체 내부로 더 충분히 확산}
}
\]

한다.

푸리에수가 증가하면서 고체 표면의 온도변화가 내부로 확산되는 과정

Fo가 매우 크면 정상상태인가

푸리에수가 매우 크다면

\[
Fo\gg1
\]

대표적인 열확산 시간척도보다 충분히 긴 시간이 경과했다는 뜻이다.

따라서 물체 전체가 경계의 열적 변화에 상당히 반응한 상태라고 볼 수 있다.

그러나

\[
\boxed{
Fo\text{가 크다}
\neq
\text{반드시 정상상태}
}
\]

이다.

실제 정상상태 도달 여부는 경계조건과 형상, 주변조건 등이 함께 결정한다.

따라서 Fo가 크다는 것은 비정상 열확산 과정이 상당히 진행되었다는 의미로 이해하는 것이 정확하다.

열확산계수 α를 다시 보자

열확산계수는

\[
\boxed{
\alpha
=
\frac{k}{\rho c_p}
}
\]

이다.

따라서 Fo는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\[
Fo
=
\frac{k}{\rho c_p}
\frac{t}{L_c^2}
\]

즉

\[
\boxed{
Fo
=
\frac{
kt
}{
\rho c_pL_c^2
}
}
\]

이다.

열전도율 k가 크면 열이 물체 내부로 빠르게 전달된다.

반대로 \(\rho c_p\)가 크면 물체의 단위체적당 열용량이 커져 같은 열을 받아도 온도변화가 상대적으로 느리다.

따라서 열확산계수는 개념적으로

\[
\boxed{
\alpha
\sim
\frac{
\text{열을 전달하는 능력}
}{
\text{열을 저장하는 능력}
}
}
\]

이라고 이해할 수 있다.

α가 크면 같은 시간에도 Fo가 커진다

다른 조건이 같다면

\[
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
\]

이므로

\[
\alpha\uparrow
\Rightarrow
Fo\uparrow
\]

한다.

즉 같은 시간 동안 가열하거나 냉각하더라도 열확산계수가 큰 물질에서는 열적 영향이 더 깊숙이 전달된 상태가 된다.

따라서 단순히 실제 시간이 같다는 이유만으로 서로 다른 물체의 비정상 열전도 진행상태가 같다고 볼 수 없다.

왜 특성길이의 제곱으로 나누는가

푸리에수에서 중요한 특징 중 하나는 길이가 제곱으로 들어간다는 점이다.

\[
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
\]

즉

\[
\boxed{
Fo
\propto
\frac{1}{L_c^2}
}
\]

이다.

대표적인 열확산 시간척도 역시

\[
t_d
\sim
\frac{L_c^2}{\alpha}
\]

이다.

따라서 다른 조건이 동일한 상태에서 특성길이가 2배가 되면 열이 내부까지 확산되는 대표시간은

\[
2^2=4
\]

배가 된다.

\[
\boxed{
L_c\times2
\Rightarrow
t_d\times4
}
\]

즉 두꺼운 물체일수록 중심부까지 온도가 변하는 데 훨씬 긴 시간이 필요하다.

Fo는 비정상 열전도방정식에서 자연스럽게 등장한다

1차원 비정상 열전도의 기본식은

\[
\boxed{
\frac{
\partial T
}{
\partial t
}
=
\alpha
\frac{
\partial^2T
}{
\partial x^2
}
}
\]

이다.

무차원 위치를

\[
X
=
\frac{x}{L_c}
\]

라고 하자.

그러면

\[
x=L_cX
\]

이고

\[
\frac{\partial}{\partial x}
=
\frac{1}{L_c}
\frac{\partial}{\partial X}
\]

이다.

따라서

\[
\frac{
\partial^2T
}{
\partial x^2
}
=
\frac{1}{L_c^2}
\frac{
\partial^2T
}{
\partial X^2
}
\]

가 된다.

열전도방정식을 무차원화하면 Fo가 나타난다

앞의 관계를 비정상 열전도방정식에 대입하면

\[
\frac{
\partial T
}{
\partial t
}
=
\frac{\alpha}{L_c^2}
\frac{
\partial^2T
}{
\partial X^2
}
\]

가 된다.

여기에서 시간과 관련하여

\[
\boxed{
\frac{\alpha t}{L_c^2}
}
\]

라는 조합이 자연스럽게 등장한다.

이것을

\[
\boxed{
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
}
\]

라고 정의한다.

즉 Fo는 임의로 만든 숫자가 아니라 비정상 열전도방정식을 무차원화할 때 자연스럽게 나타나는 시간변수이다.

Fo는 열확산 과정이 얼마나 진행됐는지를 비교할 수 있다

두 물체에서 각각

\[
Fo=0.01
\]

과

\[
Fo=1
\]

이라고 하자.

두 번째 물체가 단순히 실제 시간이 100배 경과했다는 뜻은 아니다.

Fo에는 재료의 열확산계수 α와 물체의 특성길이까지 포함되어 있다.

따라서 두 번째 물체가 열확산 과정에서 상대적으로 훨씬 더 진행된 상태라고 해석하는 것이 정확하다.

\[
\boxed{
Fo
=
\text{열전도 현상의 시간적 진행상태를 비교하는 지표}
}
\]

Bi와 Fo는 무엇이 다른가

앞에서 배운 비오수는

\[
Bi
=
\frac{hL_c}{k_s}
\]

이다.

푸리에수는

\[
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
\]

이다.

구분BiFo
핵심 질문고체 내부 온도구배가 중요한가?열확산이 시간적으로 얼마나 진행됐는가?
주요 변수h, L, ksα, t, L
공간·시간공간적 온도구배시간적 진행도
주요 분야비정상 열전도비정상 열전도

가장 짧게 정리하면

\[
\boxed{
Bi
=
\text{공간}
}
\]

\[
\boxed{
Fo
=
\text{시간}
}
\]

이라고 생각할 수 있다.

비정상 열전도에서는 Bi와 Fo를 함께 사용한다

어떤 고체가 갑자기 다른 온도의 유체에 노출되었다고 하자.

비정상 열전도에서 알고 싶은 것은 일반적으로

\[
T(x,t)
\]

이다.

즉 위치 x와 시간 t에 따른 온도분포이다.

이를 무차원화하면 일반적으로 다음과 같은 구조로 표현할 수 있다.

\[
\boxed{
\frac{
T(x,t)-T_\infty
}{
T_i-T_\infty
}
=
f
\left(
Bi,\,
Fo,\,
\text{무차원 위치}
\right)
}
\]

따라서

\[
\boxed{
Bi+Fo
\rightarrow
T(x,t)
}
\]

가 비정상 열전도 해석의 핵심 구조이다.

Bi와 Fo의 역할을 나누면

Bi는

\[
\boxed{
\text{표면 대류저항과 내부 전도저항의 관계}
}
\]

를 나타낸다.

즉 물체 내부에 어느 정도의 공간적 온도구배가 형성되는지를 판단한다.

Fo는

\[
\boxed{
\text{열적 변화가 시간적으로 얼마나 진행됐는가}
}
\]

를 나타낸다.

따라서 같은 Fo라도 Bi가 다르면 내부 온도분포가 달라질 수 있고, 같은 Bi라도 Fo가 다르면 서로 다른 시간상태가 된다.

집중정수법과 Bi·Fo의 관계

앞에서

\[
Bi<0.1 \]

이면 내부온도를 거의 균일하게 보고 집중정수법을 적용할 수 있다고 배웠다.

집중정수법의 온도변화식은

\[
\frac{
T-T_\infty
}{
T_i-T_\infty
}
=
\exp
\left[
-\frac{
hA_st
}{
\rho c_pV
}
\right]
\]

이다.

이 식의 지수항을 Bi와 Fo로 표현할 수 있다.

집중정수법에서 Bi와 Fo를 직접 연결해보자

집중정수법의 Bi 판정에서

\[
L_c
=
\frac{V}{A_s}
\]

라고 두면

\[
\frac{A_s}{V}
=
\frac{1}{L_c}
\]

이다.

따라서 지수항은

\[
\frac{
hA_st
}{
\rho c_pV
}
=
\frac{
ht
}{
\rho c_pL_c
}
\]

가 된다.

한편

\[
\alpha
=
\frac{k_s}{\rho c_p}
\]

이므로

\[
\frac{1}{\rho c_p}
=
\frac{\alpha}{k_s}
\]

이다.

따라서

\[
\frac{
ht
}{
\rho c_pL_c
}
=
\frac{
h\alpha t
}{
k_sL_c
}
\]

가 된다.

여기에서 BiFo가 나타난다

앞 식을 다시 나누어 쓰면

\[
\frac{
h\alpha t
}{
k_sL_c
}
=
\left(
\frac{
hL_c
}{
k_s
}
\right)
\left(
\frac{
\alpha t
}{
L_c^2
}
\right)
\]

이다.

첫 번째 괄호는 Bi이고

\[
Bi
=
\frac{
hL_c
}{
k_s
}
\]

두 번째 괄호는 Fo이다.

\[
Fo
=
\frac{
\alpha t
}{
L_c^2
}
\]

따라서

\[
\boxed{
\frac{
hA_st
}{
\rho c_pV
}
=
BiFo
}
\]

가 된다.

집중정수식도 Bi와 Fo로 표현할 수 있다

따라서 집중정수법의 온도변화식은

\[
\boxed{
\frac{
T-T_\infty
}{
T_i-T_\infty
}
=
e^{-BiFo}
}
\]

와 같이 표현할 수 있다.

단, 이 관계에서는 Bi와 Fo 모두 집중정수법에서 사용하는 동일한 특성길이

\[
L_c
=
\frac{V}{A_s}
\]

를 기준으로 정의한 경우이다.

이 식은 Bi와 Fo가 각각 공간과 시간을 나타내면서 실제 비정상 온도변화에서 함께 작용한다는 것을 보여준다.

Fo의 특성길이는 항상 V/As인가

아니다. 이 부분은 매우 중요하다.

푸리에수

\[
Fo
=
\frac{
\alpha t
}{
L_c^2
}
\]

에서 사용하는 특성길이는 해석방법에 따라 달라질 수 있다.

집중정수법의 Bi 판정과 위의 \(e^{-BiFo}\) 관계에서는

\[
L_c
=
\frac{V}{A_s}
\]

를 사용한다.

그러나 단순 형상의 비정상 열전도 해석에서는 대표적으로 다음 길이를 사용할 수 있다.

형상비정상 전도 해석의 대표 특성길이
무한평판반두께 L
무한원통반지름 \(r_0\)
구반지름 \(r_0\)

따라서 가장 안전한 원칙은 다음이다.

\[
\boxed{
\text{사용하는 해석법과 상관식에서 정의한 특성길이를 따른다}
}
\]

Bi가 작지 않으면 어떻게 해석하는가

만약

\[
Bi>0.1
\]

과 같이 내부 온도구배를 무시하기 어려운 경우에는 집중정수법만으로 해석하기 어렵다.

단순한 형상의 비정상 열전도에서는 해석해나 계열해를 사용할 수 있으며, 전통적으로 Heisler Chart를 이용하기도 한다.

대표적인 형상은

  • 무한평판
  • 무한원통
  • 구

등이다.

이 경우 무차원 온도는 개념적으로

\[
\boxed{
\frac{
T-T_\infty
}{
T_i-T_\infty
}
=
f
\left(
Bi,Fo,\text{무차원 위치}
\right)
}
\]

형태로 표현된다.

즉 내부 온도구배가 존재하는 비정상 열전도에서도 Bi와 Fo가 핵심변수이다.

간단한 Fo 계산 예제

어떤 고체의 열확산계수가 다음과 같다고 하자.

\[
\alpha
=
1.0\times10^{-5}
\mathrm{m^2/s}
\]

특성길이는

\[
L_c
=
0.020\mathrm{m}
\]

이고 가열 또는 냉각시간은

\[
t
=
20\mathrm{s}
\]

라고 하자.

구하려는 값

푸리에수 Fo

사용 식

\[
Fo
=
\frac{
\alpha t
}{
L_c^2
}
\]

대입

\[
Fo
=
\frac{
(1.0\times10^{-5})(20)
}{
(0.020)^2
}
\]

분모는

\[
(0.020)^2
=
4.0\times10^{-4}
\]

이고 분자는

\[
2.0\times10^{-4}
\]

이므로

\[
\boxed{
Fo
=
0.5
}
\]

이다.

Fo = 0.5를 어떻게 해석하는가

대표 열확산 시간척도는

\[
t_d
=
\frac{
L_c^2
}{
\alpha
}
\]

이다.

주어진 값을 대입하면

\[
t_d
=
\frac{
(0.020)^2
}{
1.0\times10^{-5}
}
=
40\mathrm{s}
\]

이다.

실제 경과시간은 20초이므로

\[
Fo
=
\frac{20}{40}
=
0.5
\]

이다.

즉 대표적인 열확산 시간척도의 절반 정도가 경과한 상태라고 해석할 수 있다.

같은 물체를 80초 동안 가열한다면

이번에는

\[
t
=
80\mathrm{s}
\]

라고 하자.

그러면

\[
Fo
=
\frac{
(1.0\times10^{-5})(80)
}{
(0.020)^2
}
\]

이므로

\[
\boxed{
Fo
=
2
}
\]

이다.

즉 대표 열확산 시간척도의 약 두 배가 경과한 상태이다.

따라서 앞의 \(Fo=0.5\) 상태에 비해 열적 영향이 물체 내부로 훨씬 더 충분히 확산된 상태라고 해석할 수 있다.

같은 시간이라도 재료가 다르면 Fo가 달라진다

물체 A와 B의 크기와 경과시간은 동일하지만 열확산계수가 다음과 같다고 하자.

\[
\alpha_A
=
1.0\times10^{-5}
\]

\[
\alpha_B
=
5.0\times10^{-6}
\]

그러면

\[
Fo_A
=
2Fo_B
\]

가 된다.

즉 실제로 같은 시간 동안 가열했더라도 A가 B보다 열확산 과정이 더 진행된 상태이다.

따라서 비정상 열전도에서는 단순히

“10분 가열했다”

보다

\[
\boxed{
Fo
}
\]

로 비교하는 것이 물리적으로 더 의미가 있다.

Fo와 Pr도 구분해야 한다

프란틀수는

\[
Pr
=
\frac{\nu}{\alpha}
\]

이다.

푸리에수는

\[
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
\]

이다.

따라서 다른 조건이 같을 때 α가 증가하면

\[
Pr\downarrow
\]

하는 방향으로 작용하고

\[
Fo\uparrow
\]

한다.

그러나 두 무차원수가 서로 반대되는 수라는 뜻은 아니다.

Pr는 운동량확산과 열확산을 비교하고, Fo는 일정한 시간 동안 열확산이 얼마나 진행되었는지를 나타내므로 서로 다른 질문에 답하는 무차원수이다.

지금까지 배운 7개의 무차원수를 정리하면

무차원수대표식핵심 의미
Re\(\rho VL/\mu\)관성 ↔ 점성
Pr\(\nu/\alpha\)운동량확산 ↔ 열확산
Nu\(hL/k_f\)대류 ↔ 기준 전도
Gr\(g\beta\Delta TL^3/\nu^2\)부력 ↔ 점성
Ra\(GrPr\)자연대류 발달 특성
Bi\(hL/k_s\)내부전도저항 ↔ 표면대류저항
Fo\(\alpha t/L^2\)열확산의 시간적 진행도

무차원수 전체 지도를 완성하면

강제대류

\[
\boxed{
Re+Pr
\rightarrow
Nu
\rightarrow
h
}
\]

자연대류

\[
\boxed{
Gr+Pr
\rightarrow
Ra
\rightarrow
Nu
\rightarrow
h
}
\]

비정상 열전도

\[
\boxed{
Bi+Fo
\rightarrow
T(x,t)
}
\]

즉 지금까지 배운 무차원수는 무작위로 존재하는 공식들이 아니라 각각의 열전달 현상을 연결하는 하나의 체계이다.

기술사 기출과 연결하면

현재 확인된 기출 범위에서는 Fourier number를 직접 명시하여 단독으로 설명하도록 한 문제는 확인되지 않았다.

다만 제117회에서는 열전달에 관계된 무차원수 3가지를 설명하도록 폭넓게 출제됐다.

따라서 Fo는 특정 기출문제 하나에만 대응하여 암기하기보다 비정상 열전도의 핵심 무차원수로서 Bi와 함께 이해하는 것이 적절하다.

특히 비정상 열전도 문제에서는

\[
\boxed{
Bi
=
\text{고체 내부 온도구배의 중요성}
}
\]

\[
\boxed{
Fo
=
\text{열확산의 시간적 진행도}
}
\]

라는 구분을 답안에 명확하게 나타내는 것이 좋다.

기술사 답안에서 중요한 포인트

푸리에수를 설명하라고 하면 먼저 비정상 열전도에서 열확산의 시간적 진행도를 나타내는 무차원수이며 무차원 시간이라는 점을 제시하는 것이 좋다.

다음으로

\[
Fo
=
\frac{\alpha t}{L_c^2}
\]

를 쓰고

\[
Fo
=
\frac{
t
}{
L_c^2/\alpha
}
\]

로 변형하여 실제 경과시간과 열확산 시간척도의 비라는 물리적 의미를 설명한다.

이어 Fo가 작으면 열적 변화가 아직 표면 부근에 집중되고, Fo가 증가하면 내부까지 열이 충분히 확산된다는 점을 설명한다.

마지막에는 비오수와 연결하여

\[
\boxed{
Bi+Fo
\rightarrow
T(x,t)
}
\]

라고 정리하면 비정상 열전도의 전체 구조를 보여줄 수 있다.

시험 직전 핵심 정리

  • 푸리에수는 \(Fo=\alpha t/L_c^2\)로 정의되는 무차원수이다.
  • Fo는 무차원 시간으로 해석할 수 있다.
  • \(Fo=t/(L_c^2/\alpha)\)이므로 실제 경과시간과 대표 열확산 시간척도의 비를 나타낸다.
  • Fo가 작으면 열적 변화가 아직 표면 부근에 집중되어 있다.
  • Fo가 증가하면 열이 물체 내부로 더 충분히 확산된다.
  • Fo가 크다는 사실만으로 반드시 정상상태라고 단정할 수는 없다.
  • 열확산계수 α가 크거나 시간이 길수록 Fo가 증가한다.
  • 특성길이가 커지면 \(L_c^2\)에 반비례하여 Fo가 감소한다.
  • Bi는 공간적인 온도구배, Fo는 시간적인 열확산 진행도를 나타낸다.
  • 비정상 열전도에서는 \(Bi+Fo\rightarrow T(x,t)\)의 관계로 이해하는 것이 중요하다.

이로써 열전달의 핵심 무차원수인 Re·Pr·Nu·Gr·Ra·Bi·Fo를 모두 학습했다. 다음 단계에서는 바로 새로운 주제로 넘어가기보다, 이 7개 무차원수를 강제대류·자연대류·비정상 열전도의 세 그룹으로 묶어 비교하고 실제 기술사 문제에서 어떤 무차원수를 선택해야 하는지를 정리하는 ⑨-9 무차원수 종합정리를 진행하면 전체 구조를 확실하게 정리할 수 있다.

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