비오수 Bi의 의미: 내부 온도구배와 집중정수법 Bi<0.1

비오수(Biot Number)는 고체 내부의 온도분포를 판단하는 중요한 무차원수이다. 지금까지 배운 Re·Pr·Nu·Gr·Ra는 주로 유체의 유동과 대류열전달을 해석하기 위해 사용했다. 비오수부터는 관심의 중심이 유체에서 고체로 이동한다.

예를 들어 뜨거운 금속구를 차가운 공기 속에 넣었다고 하자. 시간이 지나면서 금속구는 냉각된다. 이때 금속구 전체를 하나의 온도로 보아도 되는지, 아니면 표면과 중심부의 온도를 서로 다르게 계산해야 하는지를 판단해야 한다.

이 판단에 사용하는 대표적인 무차원수가 비오수이다.

목차28개 항목

• 비오수란 무엇인가
• 비오수의 핵심은 열저항의 비이다
• 열저항 관계를 직접 유도해보자
• Bi가 작다는 것은 무엇인가
• Bi가 크면 무엇이 달라지는가
• 비오수는 결국 무엇을 판단하는가
• Bi < 0.1의 의미
• Bi가 0.1보다 크면 어떻게 해야 하는가
• 비오수에서는 특성길이 Lc가 매우 중요하다
• 형상별 특성길이
• 특성길이를 표로 정리하면
• 어떤 조건에서 Bi가 커지는가
• 금속물체는 왜 Bi가 작기 쉬운가
• 작은 물체는 왜 Bi가 작기 쉬운가
• 집중정수법의 기본 에너지평형
• 집중정수법의 온도변화식을 유도해보자
• 집중정수법을 사용할 때의 기본 전제
• 시간상수 τ란 무엇인가
• 간단한 비오수 계산 예제
• 계산 결과의 공학적 의미
• 반대로 Bi = 2라면
• 누셀수 Nu와 비오수 Bi를 반드시 구분하자
• Nu와 Bi의 차이
• 앞에서 배운 무차원수와 연결하면
• Bi와 Fo의 역할은 어떻게 다른가
• 기술사 기출과 연결하면
• 기술사 답안에서 중요한 포인트
• 시험 직전 핵심 정리

비오수란 무엇인가

비오수는 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
Bi
=
\frac{hL_c}{k_s}
}
\]

여기서 각 변수는 다음을 의미한다.

기호	의미	SI 단위
Bi	비오수	무차원
h	표면 대류열전달계수	W/(m²·K)
Lc	고체의 특성길이	m
ks	고체의 열전도율	W/(m·K)

단위를 확인하면

\[
Bi
=
\frac{
\mathrm{W/(m^2\cdot K)}
\times
\mathrm{m}
}{
\mathrm{W/(m\cdot K)}
}
\]

이므로 모든 단위가 소거된다.

\[
\boxed{
\operatorname{dim}(Bi)=1
}
\]

따라서 Bi는 무차원수이다.

비오수의 핵심은 열저항의 비이다

비오수를 가장 중요하게 이해하는 방법은 고체 내부의 전도열저항과 표면의 대류열저항을 비교하는 것이다.

\[
\boxed{
Bi
\approx
\frac{
R_{\mathrm{cond}}
}{
R_{\mathrm{conv}}
}
}
\]

즉 비오수는 다음 질문에 답하는 무차원수이다.

\[
\boxed{
\text{열이 고체 내부를 이동하기 어려운가}
\atop
\text{아니면 표면에서 유체로 이동하기 어려운가}
}
\]

열저항 관계를 직접 유도해보자

고체 내부에서 열이 대략 특성길이 \(L_c\)만큼 이동한다고 생각하면 전도열저항은 다음과 같이 근사할 수 있다.

\[
R_{\mathrm{cond}}
\approx
\frac{L_c}{k_sA}
\]

고체 표면에서 주변유체로 열이 전달되는 대류열저항은

\[
R_{\mathrm{conv}}
=
\frac{1}{hA}
\]

이다.

두 저항의 비를 계산하면

\[
\frac{
R_{\mathrm{cond}}
}{
R_{\mathrm{conv}}
}
=
\frac{
L_c/(k_sA)
}{
1/(hA)
}
\]

이고 면적 A가 소거되므로

\[
\frac{
R_{\mathrm{cond}}
}{
R_{\mathrm{conv}}
}
=
\frac{hL_c}{k_s}
\]

가 된다.

따라서

\[
\boxed{
Bi
\approx
\frac{
R_{\mathrm{cond}}
}{
R_{\mathrm{conv}}
}
=
\frac{hL_c}{k_s}
}
\]

라고 해석할 수 있다.

이 관계가 비오수의 물리적인 본질이다.

Bi가 작다는 것은 무엇인가

비오수가 매우 작다고 하자.

\[
Bi\ll1
\]

그러면

\[
R_{\mathrm{cond}}
\ll
R_{\mathrm{conv}}
\]

이다.

즉 고체 내부에서는 열이 비교적 쉽게 이동하지만, 표면에서 주변유체로 열을 전달하는 과정의 저항이 상대적으로 크다는 뜻이다.

따라서 고체 내부에서 큰 온도차가 생길 필요가 없다.

표면                    중심

●──────●──────●──────●
T  ≈   T  ≈   T  ≈   T

고체 내부온도가 거의 균일

따라서

\[
\boxed{
Bi\downarrow
\Rightarrow
\text{고체 내부 온도구배 감소}
}
\]

라고 이해할 수 있다.

Bi가 크면 무엇이 달라지는가

반대로 Bi가 크다면

\[
Bi\gg1
\]

이고

\[
R_{\mathrm{cond}}
\gg
R_{\mathrm{conv}}
\]

이다.

표면에서는 주변유체와 열교환이 비교적 빠르게 진행되지만, 고체 내부에서 중심부의 열이 표면까지 이동하는 과정이 상대적으로 느리다.

따라서 물체 내부에 큰 온도차가 나타날 수 있다.

차가운 주변유체

표면                    중심
 ↓                       ↓
Ts ────── T ────────── Tc

표면은 빠르게 냉각
중심부는 아직 높은 온도

따라서

\[
\boxed{
Bi\uparrow
\Rightarrow
\text{고체 내부 온도구배 증가}
}
\]

라고 해석한다.

비오수는 결국 무엇을 판단하는가

비오수가 판단하는 핵심 질문은 하나이다.

\[
\boxed{
\text{물체 전체를 하나의 온도로 보아도 되는가?}
}
\]

고체 내부온도가 거의 균일하다면

\[
T(x,t)
\]

와 같이 위치와 시간을 모두 고려할 필요 없이

\[
\boxed{
T=T(t)
}
\]

로 단순화할 수 있다.

이러한 해석방법을 집중정수법(Lumped Capacitance Method) 또는 집중용량법이라고 한다.

Bi < 0.1의 의미

비정상 열전도에서 매우 중요한 대표적인 공학적 기준이 다음이다.

\[
\boxed{
Bi<0.1 } \]

일반적으로 이 조건에서는 고체 내부의 온도차가 충분히 작다고 보고 물체 전체의 온도를 거의 균일하게 취급할 수 있다.

\[
\boxed{
T(x,t)
\approx
T(t)
}
\]

따라서

\[
\boxed{
Bi<0.1 \Rightarrow \text{집중정수법 적용 가능} } \]

이라고 기억할 수 있다.

다만 0.1은 자연현상이 갑자기 바뀌는 절대적인 경계값은 아니다. 내부 온도구배를 무시할 때의 오차를 충분히 작게 유지하기 위해 사용하는 대표적인 공학적 판단기준이다.

Bi가 0.1보다 크면 어떻게 해야 하는가

Bi가 커질수록 고체 내부온도를 하나의 값으로 가정하기 어려워진다.

\[
Bi>0.1
\]

이라고 해서 모든 경우에 즉시 하나의 동일한 해석법만 적용되는 것은 아니지만, 단순한 집중정수 가정의 정확성이 떨어질 수 있다.

따라서 위치에 따른 온도분포를 고려하는 비정상 열전도 해석이 필요해진다.

\[
\boxed{
T=T(x,t)
}
\]

이때 다음 단계에서 배우게 될 푸리에수 Fo가 중요해진다.

비오수에서는 특성길이 Lc가 매우 중요하다

집중정수법의 Bi를 판단할 때 대표적인 특성길이는 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
L_c
=
\frac{V}{A_s}
}
\]

여기서

• V : 고체의 체적
• A_s : 대류에 노출된 고체의 표면적

이다.

따라서

\[
\boxed{
Bi
=
\frac{h}{k_s}
\frac{V}{A_s}
}
\]

가 된다.

같은 재료라도 물체의 형상과 크기가 바뀌면 \(V/A_s\)가 달라지므로 Bi도 달라진다.

형상별 특성길이

양면이 대류에 노출된 평판

전체 두께가 \(2L\)이고 양쪽 면이 대류에 노출된 넓은 평판을 생각하자.

평판 한 면의 면적을 A라 하면

\[
V
=
2LA
\]

이고 대류에 노출된 표면적은

\[
A_s
=
2A
\]

이다.

따라서

\[
L_c
=
\frac{2LA}{2A}
\]

이므로

\[
\boxed{
L_c=L
}
\]

이다.

즉 이 조건에서는 전체 두께 \(2L\)의 절반이 특성길이가 된다.

충분히 긴 원통

반지름 r이고 끝면의 영향을 무시할 수 있는 긴 원통이라면

\[
V
=
\pi r^2L
\]

이고 대류에 노출되는 측면적은

\[
A_s
=
2\pi rL
\]

이다.

따라서

\[
\boxed{
L_c
=
\frac{r}{2}
}
\]

이다.

구

반지름 r인 구에서는

\[
V
=
\frac43\pi r^3
\]

이고

\[
A_s
=
4\pi r^2
\]

이므로

\[
\boxed{
L_c
=
\frac{r}{3}
}
\]

가 된다.

특성길이를 표로 정리하면

형상	조건	Bi 판단용 특성길이
평판	두께 2L, 양면 대류	\(L_c=L\)
긴 원통	끝면 영향 무시	\(L_c=r/2\)
구	전체 표면 대류	\(L_c=r/3\)

비오수를 계산할 때는 직경이나 반지름을 무조건 그대로 넣지 말고 먼저 해당 문제에서 사용할 특성길이의 정의를 확인해야 한다.

어떤 조건에서 Bi가 커지는가

비오수 정의는

\[
Bi
=
\frac{hL_c}{k_s}
\]

이다.

먼저 대류열전달계수 h가 증가하면

\[
h\uparrow
\Rightarrow
Bi\uparrow
\]

한다.

표면의 열교환이 매우 빠르면 표면온도는 주변유체의 영향을 빠르게 받지만 고체 내부는 이를 즉시 따라가지 못할 수 있다.

특성길이가 증가해도

\[
L_c\uparrow
\Rightarrow
Bi\uparrow
\]

한다.

즉 물체가 크거나 두꺼울수록 중심부와 표면 사이에 온도차가 생기기 쉬워진다.

반대로 고체의 열전도율이 증가하면

\[
k_s\uparrow
\Rightarrow
Bi\downarrow
\]

한다.

열전도율이 큰 고체에서는 내부에서 열이 빠르게 전달되므로 온도분포가 균일해지기 쉽다.

금속물체는 왜 Bi가 작기 쉬운가

금속은 일반적으로 열전도율 \(k_s\)가 큰 재료이다.

따라서

\[
Bi
=
\frac{hL_c}{k_s}
\]

에서 분모가 커져 Bi가 작아지는 방향으로 작용한다.

\[
k_s\uparrow
\rightarrow
Bi\downarrow
\]

즉 작은 금속물체는 내부열전도가 빨라 물체 전체를 하나의 온도로 취급하기 쉬운 경우가 많다.

반대로 열전도율이 작은 목재·플라스틱·단열재와 같은 재료는 같은 크기와 대류조건에서도 내부온도구배가 더 중요해질 수 있다.

작은 물체는 왜 Bi가 작기 쉬운가

다른 조건이 같다면

\[
Bi
\propto
L_c
\]

이다.

따라서 물체의 크기가 작아지면

\[
L_c\downarrow
\rightarrow
Bi\downarrow
\]

한다.

즉 작은 센서나 작은 금속구와 같은 물체는 집중정수법을 적용하기 쉬운 경우가 많다.

하지만 같은 재료라도 물체가 매우 두꺼워지거나 커지면 Bi가 증가할 수 있다.

따라서

\[
\boxed{
Bi
=
\text{재료 자체만의 물성값이 아니다}
}
\]

라고 이해해야 한다.

집중정수법의 기본 에너지평형

이제

\[
Bi<0.1 \]

이고 물체 내부온도가 거의 균일하다고 가정하자.

\[
T=T(t)
\]

주변유체의 온도가 일정한 \(T_\infty\)이고 물체가 냉각되는 경우 표면에서 방출되는 열은

\[
\dot Q
=
hA_s
\left(
T-T_\infty
\right)
\]

이다.

한편 물체에 저장된 열에너지의 감소율은

\[
-\rho Vc_p
\frac{dT}{dt}
\]

이다.

따라서 에너지평형은

\[
\boxed{
-\rho Vc_p
\frac{dT}{dt}
=
hA_s
\left(
T-T_\infty
\right)
}
\]

가 된다.

집중정수법의 온도변화식을 유도해보자

앞의 식을 정리하면

\[
\frac{dT}
{T-T_\infty}
=
–
\frac{
hA_s
}{
\rho Vc_p
}
dt
\]

이다.

초기온도를 \(T_i\), 시간 t에서 물체온도를 T라고 하면 적분하여

\[
\ln
\left(
\frac{
T-T_\infty
}{
T_i-T_\infty
}
\right)
=
–
\frac{
hA_s
}{
\rho Vc_p
}
t
\]

를 얻는다.

따라서

\[
\boxed{
\frac{
T-T_\infty
}{
T_i-T_\infty
}
=
\exp
\left[
-\frac{
hA_s
}{
\rho Vc_p
}
t
\right]
}
\]

가 된다.

이 식을 이용하면 시간에 따른 물체온도나 목표온도까지 필요한 냉각·가열시간을 계산할 수 있다.

집중정수법을 사용할 때의 기본 전제

집중정수식은 아무 비정상 열전도 문제에나 적용하는 식이 아니다.

가장 먼저

\[
\boxed{
Bi<0.1 } \]

조건을 확인하여 고체 내부온도를 거의 균일하게 취급할 수 있는지 판단해야 한다.

또한 기본적인 집중정수 해석에서는 물성을 일정하게 보고, 주변유체온도와 대류열전달계수가 일정하며, 별도의 내부발열이 없는 조건을 주로 가정한다.

시간상수 τ란 무엇인가

집중정수법의 식에서

\[
\boxed{
\tau
=
\frac{
\rho Vc_p
}{
hA_s
}
}
\]

를 시간상수(Time Constant)라고 한다.

그러면 온도변화식은

\[
\boxed{
\frac{
T-T_\infty
}{
T_i-T_\infty
}
=
e^{-t/\tau}
}
\]

와 같이 간단하게 표현할 수 있다.

시간상수 τ가 작으면 주변온도에 빠르게 접근한다.

\[
\tau\downarrow
\Rightarrow
\text{빠른 온도변화}
\]

반대로 τ가 크면 물체의 온도변화가 느리다.

\[
\tau\uparrow
\Rightarrow
\text{느린 온도변화}
\]

간단한 비오수 계산 예제

직경이 20 mm인 작은 구가 있다고 하자.

주어진 값

\[
D
=
20\mathrm{mm}
=
0.020\mathrm{m}
\]

따라서 반지름은

\[
r
=
0.010\mathrm{m}
\]

이다.

고체의 열전도율과 대류열전달계수는 다음과 같다고 하자.

\[
k_s
=
50\mathrm{W/(m\cdot K)}
\]

\[
h
=
30\mathrm{W/(m^2\cdot K)}
\]

구하려는 값

비오수 Bi와 집중정수법 적용 가능 여부

특성길이

구의 경우

\[
L_c
=
\frac r3
\]

이므로

\[
L_c
=
\frac{0.010}{3}
=
0.00333\mathrm{m}
\]

이다.

사용 식

\[
Bi
=
\frac{hL_c}{k_s}
\]

대입

\[
Bi
=
\frac{
30\times0.00333
}{
50
}
\]

계산 결과

\[
\boxed{
Bi
\approx
0.002
}
\]

계산 결과의 공학적 의미

계산된 값은

\[
Bi
=
0.002
\]

이다.

이는

\[
0.002
\ll
0.1
\]

이므로 고체 내부 전도열저항이 표면 대류열저항보다 매우 작다는 의미이다.

따라서 물체 내부온도를 거의 균일하게 취급할 수 있다.

\[
\boxed{
Bi=0.002<0.1 \Rightarrow \text{집중정수법 적용 가능} } \]

반대로 Bi = 2라면

만약

\[
Bi=2
\]

라면 고체 내부의 전도열저항을 표면 대류열저항에 비해 무시할 수 없다.

표면은 빠르게 냉각되어도 중심부는 높은 온도를 오랫동안 유지할 수 있다.

따라서

\[
\boxed{
T=T(x,t)
}
\]

와 같이 위치와 시간을 함께 고려해야 한다.

이러한 문제에서는 다음 단계의 푸리에수 Fo가 중요해진다.

누셀수 Nu와 비오수 Bi를 반드시 구분하자

누셀수와 비오수는 식의 모양이 매우 비슷하다.

누셀수는

\[
Nu
=
\frac{
hL_c
}{
k_f
}
\]

이고 비오수는

\[
Bi
=
\frac{
hL_c
}{
k_s
}
\]

이다.

하지만 분모에 들어가는 열전도율이 다르다.

\[
\boxed{
Nu:
k_f
=
\text{유체의 열전도율}
}
\]

\[
\boxed{
Bi:
k_s
=
\text{고체의 열전도율}
}
\]

이 차이 때문에 두 무차원수의 물리적 의미도 완전히 달라진다.

Nu와 Bi의 차이

구분	Nusselt 수 Nu	Biot 수 Bi
기본식	\(Nu=hL_c/k_f\)	\(Bi=hL_c/k_s\)
열전도율	유체의 \(k_f\)	고체의 \(k_s\)
주요 대상	유체측	고체측
핵심 의미	대류열전달과 기준 전도열전달의 비교	내부 전도저항과 표면 대류저항의 비교
주 목적	대류열전달계수 h 계산	내부 온도균일성 판단
주요 분야	대류열전달	비정상 열전도

따라서 다음처럼 구분하면 쉽다.

\[
\boxed{
Nu
\rightarrow
h\text{를 구하는 데 사용}
}
\]

\[
\boxed{
Bi
\rightarrow
\text{고체 내부 온도분포를 무시할 수 있는지 판단}
}
\]

앞에서 배운 무차원수와 연결하면

강제대류에서는

Re + Pr
   ↓
  Nu
   ↓
   h

의 흐름을 배웠다.

자연대류에서는

Gr + Pr
   ↓
  Ra
   ↓
  Nu
   ↓
   h

였다.

이제 이렇게 얻은 대류열전달계수 h를 고체측 해석에 사용한다.

        h
        ↓
Bi = hLc / ks
        ↓
고체 내부 온도구배 판단

따라서 지금까지의 무차원수는 다음과 같이 하나로 연결된다.

\[
\boxed{
Re,\;Pr,\;Gr,\;Ra
\rightarrow
Nu
\rightarrow
h
\rightarrow
Bi
}
\]

Nu와 Bi의 연결을 이해하면 대류열전달에서 비정상 열전도로 자연스럽게 넘어갈 수 있다.

Bi와 Fo의 역할은 어떻게 다른가

다음 단계에서 배우는 푸리에수는

\[
Fo
=
\frac{
\alpha t
}{
L_c^2
}
\]

이다.

비오수는

\[
Bi
=
\frac{
hL_c
}{
k_s
}
\]

이다.

두 수의 역할은 다르다.

\[
\boxed{
Bi:
\text{고체 내부에 온도구배가 얼마나 중요한가}
}
\]

\[
\boxed{
Fo:
\text{시간이 지나며 열이 고체 내부로 얼마나 확산됐는가}
}
\]

따라서 비정상 열전도에서는 Bi와 Fo가 함께 사용되는 경우가 많다.

\[
\boxed{
Bi+Fo
\rightarrow
\text{비정상 열전도 해석}
}
\]

기술사 기출과 연결하면

제130회에서는 Biot number와 Nusselt number의 정의와 차이를 직접 설명하도록 출제됐다.

따라서 단순히

\[
Bi=\frac{hL_c}{k_s}
\]

와

\[
Nu=\frac{hL_c}{k_f}
\]

만 쓰는 것으로는 두 수의 차이가 충분히 드러나지 않는다.

비오수는 고체 내부 전도열저항과 표면 대류열저항의 상대적인 크기를 나타내며 내부 온도균일성을 판단한다.

반면 누셀수는 유체측 대류열전달을 기준 전도열전달과 비교하며 실제 대류열전달계수 h와 연결된다.

특히 답안에서는 \(k_s\)와 \(k_f\)의 차이를 명확하게 구분하는 것이 좋다.

기술사 답안에서 중요한 포인트

비오수를 설명할 때는 먼저 고체 내부 전도열저항과 표면 대류열저항의 상대적인 크기를 나타내는 무차원수라는 정의를 제시하는 것이 좋다.

그다음

\[
Bi
=
\frac{hL_c}{k_s}
\]

와

\[
L_c
=
\frac{V}{A_s}
\]

를 제시한다.

이후

\[
Bi<0.1 \]

이면 내부 온도구배를 작다고 보고 집중정수법을 적용할 수 있다는 공학적 판단기준을 설명하면 좋다.

Nu와 비교하는 문제에서는 반드시 유체의 \(k_f\)와 고체의 \(k_s\)를 구분하고, Nu는 대류열전달 해석, Bi는 고체 내부 온도분포 판단에 사용된다는 차이를 설명한다.

시험 직전 핵심 정리

• 비오수는 \(Bi=hL_c/k_s\)로 정의되는 무차원수이다.
• 비오수는 고체 내부 전도열저항과 표면 대류열저항의 상대적인 크기를 나타낸다.
• 집중정수법의 대표적인 특성길이는 \(L_c=V/A_s\)이다.
• Bi가 작을수록 고체 내부의 온도구배가 작다.
• 일반적으로 \(Bi<0.1\)이면 고체 내부온도를 거의 균일하다고 보고 집중정수법을 적용할 수 있다.
• Bi가 커지면 표면과 중심부 사이의 온도차를 무시하기 어려워진다.
• h와 Lc가 증가하면 Bi가 증가하고, 고체의 열전도율 ks가 증가하면 Bi가 감소한다.
• Nu는 유체의 열전도율 \(k_f\), Bi는 고체의 열전도율 \(k_s\)를 사용한다.
• Nu는 h와 연결되는 대류 무차원수이고, Bi는 고체 내부 온도분포를 판단하는 비정상 열전도 무차원수이다.
• 비정상 열전도에서는 Bi와 함께 Fo가 중요한 역할을 한다.

다음 단계에서는 ⑨-8 푸리에수 \(Fo\)를 공부한다. Bi가 고체 내부의 온도구배를 판단했다면 Fo는 시간이 흐르면서 열이 물체 내부로 어느 정도 확산됐는지를 나타낸다. 따라서 \(Fo=\alpha t/L_c^2\)가 왜 무차원 시간인지 이해하고, Bi + Fo → 비정상 열전도의 전체 구조를 완성한다.